Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Resumen del libro

El objetivo de este libro es proporcionar los conocimientos y el material necesarios a los alumnos del grado en CC. Matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia para superar la asignatura: “Introducción a las ecuaciones diferenciales”.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias presentan dos partes fundamentales: la teoría clásica de existencia, unicidad y prolongabilidad y la teoría cualitativa. El estudio cualitativo no requiere la expresión explícita de la solución, que en ocasiones no es posible obtener, pero nos permite conocer el comportamiento de las soluciones. Este libro introduce al alumno en ambos aspectos, además de presentar las técnicas utilizadas en la resolución de ciertas ecuaciones.

El libro comienza con un capítulo introductorio donde se presentan los principales aspectos a tener en cuenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el Capítulo 2 se presentan los métodos clásicos de resolución de ecuaciones de primer orden, tanto para ecuaciones lineales como no lineales. En el Capítulo 3 se estudian los resultados teóricos sobre existencia, unicidad y prolongabilidad de las soluciones del problema de valor inicial. Los sistemas lineales se estudian en el Capítulo 4, cuyo estudio es imprescindible para el estudio de la teoría cualitativa (Capítulo 5).

El Capítulo 6 presenta una serie de problemas de ecuaciones diferenciales que aparecen en otras disciplinas, como la física o la biología. El estudio de estas ecuaciones nos permite entender el comportamiento de ciertas magnitudes expresadas como soluciones de ecuaciones diferenciales.

Con el objetivo de hacer este libro lo más autocontenido posible, se incluye un apéndice donde se demuestra el teorema de la alternativa de Fredholm para aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita.

Este texto está enfocado a un aprendizaje autónomo del estudiante, presentando numerosos ejemplos y ejercicios resueltos. Se ha intentando utilizar un lenguaje preciso y claro que permita su comprensión sin dificultad.

Prerrequisitos. Los conocimientos necesarios para poder seguir el libro son los adquiridos en un curso de cálculo diferencial e integral de varias variables. En el grado en C.C.Matemáticas de la U.N.E.D., dichos conocimientos se imparten en las asignaturas de “Funciones de varias variables I y II”.

Utilización del texto. Para una mejor comprensión del texto, se recomienda comenzar por el

Capítulo 1. Dado el carácter independiente del Capítulo 2, una vez leído el Capítulo 1, es posible continuar leyendo el Capítulo 2 o pasar directamente al Capítulo 3. Se recomienda continuar con el resto de Capítulos en el orden que aparecen, teniendo en cuenta que para el estudio del Capítulo 4 y posteriores es necesario conocer tanto el Capítulo 2 como el 3.

José Ignacio Tello del Castillo

Índice

1 Preliminares

2 Métodos elementales de integración de ecuaciones diferenciales de primer orden

3 Existencia y unicidad de soluciones

4 Sistemas lineales

5 Teoría cualitativa

6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Apéndice I. Teorema de la alternativa de Fredholm en dimensión finita

Bibliografía

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