Geometría Diferencial De Curvas Y Superficies

Resumen del libro

El propósito de estas notas es servir de material básico para la asignatura “Geometría diferencial de curvas y superficies” del grado de Matemáticas de la UNED.

La limitación que implica la atribución de 6 créditos a esta asignatura implica reducir el material a un mínimo, que es lo que se presenta en este texto. Hemos sacrificado algunos conceptos, resultados y demostraciones que en un curso de mayor amplitud se incluían tradicionalmente.

En los textos complementarios Notas de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies y Ejercicios de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, de esta misma editorial, puede encontrar el lector demostraciones, ejemplos y explicaciones que no hemos incluído ahora por razones de espacio.

Este texto contiene una colección de ejercicios resueltos suficiente para que el estudiante de la UNED pueda autoevaluar su aprendizaje. No nos cansaremos de recomendar que es conveniente que el lector trate de resolver por sí mismo los ejercicios, sin consultar previamente las soluciones.

La asignatura es de una gran belleza y en ella se aplican los conceptos y resultados de otras materias que el estudiante ha cursado o está cursando en el grado en Matemáticas: Álgebra lineal, Geometría básica, Geometrías lineales, Funciones de una y varias variables, Ecuaciones diferenciales, Campos y formas, Topología, . . . Queremos respetar la idiosincracia del estudiante de la UNED, que elige por si mismo el itinerario de asignaturas del grado, pero esto no es óbice para recomendar que esta asignatura se curse con algunas ideas fundamentales de las materias que hemos enumerado anteriormente.

Se han realizado muchas de las figuras con Geogebra, que es un software muy accesible. Algunas de las figuras han dado lugar a pequeños laboratorios que ponemos a disposición del lector para que, en caso necesario, manipule a su gusto el diseño. Nos gustaría haber incluído muchas más figuras, porque es el mejor medio de enseñar muchos de los conceptos de este curso, pero tampoco queríamos que el texto fuese muy voluminoso. Sin embargo sí podemos añadir unas líneas para recomendar que el lector realice sus propios dibujos inspirado por aquello que el texto le sugiera.

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Índice

0.1. Introducción

 

1. Curvas planas

1.1. Primeras definiciones

1.2. Recta tangente

1.3. Orientación, velocidad, longitud de arco

1.4. Sistema de referencia móvil

1.5. Curvatura

1.6. Fórmulas de Frenet

1.7. La curvatura geométricamente.

Puntos de inflexión

1.7.1. Interpretación geométrica del signo de la curvatura

1.7.2. Punto de inflexión

1.7.3. Interpretación geométrica del valor absoluto de la curvatura

1.7.4. Circunferencia osculatriz y radio de curvatura

1.8. El Teorema fundamental de curvas planas

1.8.1. El valor absoluto de la curvatura es un invariante de la geometría euclidiana

1.8.2. La curvatura es un invariante completo para arcos de curva en el plano euclidiano

1.8.3. Posibles funciones curvatura

1.9. Ejemplo de propiedad global de curvas planas

1.10.Ejercicios

1.11.Soluciones

 

2. Curvas en el espacio

2.1. Primeras definiciones

2.2. Recta tangente

2.3. Orientación, velocidad, longitud de arco

2.4. Sistema de referencia móvil

2.5. Curvatura

2.6. Torsión

2.7. Fórmulas de Frenet

2.8. Torsión y curvas planas en el espacio

2.9. Interpretación del signo de la torsión

2.10. Teorema fundamental de curvas en el espacio

2.10.1. La curvatura y el valor absoluto de la torsión son invariantes de la geometría euclidiana

2.10.2. La curvatura y el valor absoluto de la torsión como sistema de invariantes completo para curvas del espacio

2.10.3. Posibles funciones curvatura

2.11.Ejercicios

2.12.Soluciones

 

3. Superficies

3.1. Definición de carta

3.2. Atlas y superficie

3.3. Superficies en implícitas

3.4. Curvas en una superficie

3.5. Plano tangente

3.6. Vector normal a una superficie en un punto

3.7. Orientabilidad

3.8. Aplicaciones entre superficies

3.9. Aplicación tangente

3.10.Ejercicios

3.11.Soluciones

 

4. Geometría intrínseca

4.1. Primera forma fundamental

4.1.1. Cálculo de longitudes y ángulos

4.1.2. Cálculo de áreas

4.2. Geodésicas

4.3. Entornos geodésicos

4.3.1. Aplicación exponencial y entornos geodésicos

4.3.2. Coordenadas polares geodésicas

4.3.3. Propiedad minimizante de las geodésicas

4.4. Isometrías

4.4.1. Isometrías y geometría intrínseca

4.5. Ejercicios

4.6. Soluciones

 

5. Estudio clásico de superficies

5.1. Operador de Weingarten

5.2. Segunda forma fundamental

5.2.1. Secciones normales

5.2.2. Fórmula y teorema de Meusnier

5.3. Direcciones y curvaturas principales

5.3.1. Cálculo de las curvaturas principales

5.3.2. Puntos umbílicos

5.3.3. Líneas de curvatura

5.4. Curvatura de Gauss y curvatura media

5.4.1. Interpretación geométrica de la curvatura de Gauss

5.5. Direcciones asintóticas

5.5.1. Líneas asintóticas

5.6. Algunos teoremas globales

5.7. Ejercicios

5.8. Soluciones

 

6. Geometría intrínseca y curvatura

6.1. Símbolos de Christoffel

6.2. La curvatura de Gauss y geometría intrínseca

6.3. Teorema fundamental de superficies o teorema de Bonnet

6.4. Otras aplicaciones de las fórmulas

6.4.1. Fórmulas de las geodésicas con los símbolos de Christoffel

6.4.2. Fórmula de la curvatura para cartas polares geodésicas

6.4.3. Teorema de Minding

6.5. Curvatura geodésica

6.5.1. Curvatura geodésica y variación del ángulo de la tangente

6.6. Teorema de Gauss-Bonnet

6.6.1. Casos particulares

6.6.2. Teorema egregio de Gauss. Interpretación geométrica

6.7. Teorema de Gauss-Bonnet global

6.8. Ejercicios

6.9. Soluciones

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