Geometría Básica

Resumen del libro

Este libro tiene por propósito principal servir como material didáctico a los alumnos de la UNED de la asignatura “Geometría básica” del primer curso del grado en Matemáticas. También puede servir de lectura a toda persona interesada en tener unos conocimientos básicos de Geometría desde un punto de vista sintético, es decir sin coordenadas, y puede ser útil a profesores de matemáticas de secundaria y bachillerato.

La Geometría es sin duda una de las disciplinas centrales de las matemáticas. Nadie puede poner en duda que es necesario estudiar Geometría para poderse considerar matemático, o incluso una persona culta. Resulta obligado recordar la frase de la Academia de Platón: “que no entre nadie que no sepa Geometría”. Ahora bien, el problema se plantea sobre qué se debe estudiar dentro de la Geometría. Con 2000 años de historia es fácil comprender que se podría llenar el plan de estudios de todo un grado sólo con una parte del desarrollo de esta disciplina. La respuesta a esta pregunta no ha sido la misma en todas las épocas y sigue sin serlo en todas las universidades. Algunos de los temas que se tratarán en este curso habían sido arrinconados o incluso suprimidos de los planes de estudios, pero la experiencia ha impuesto su recuperación por razones formativas y utilitarias importantes.

La decisión en la UNED ha sido el diseño de un curso donde se incluyeran los siguientes puntos: geometría elemental del plano y el espacio, construcciones geométricas elementales, geometría axiomática, geometrías no euclidianas, poliedros. Por esto hemos elegido para abordar este curso el método axiomático que desde Euclides hasta nuestros días está dando tan buen resultado. Así tenemos ya ganados los tres primeros puntos anteriores de una sola vez. El sistema axiomático tiene la ventaja de ser sólido en sus principios, pero tiene el problema, en ocasiones, de un avance dificultoso y lento. Este problema se soluciona tomando un sistema de axiomas clásico-moderno que aprovecha la potencia de los números reales y nos hace superar algunas de las dificultades de sistemas axiomáticos completamente geométricos. Por otra parte este sistema conserva algunos de los axiomas clásicos, lo que nos ofrece la posibilidad de introducir las geometrías no euclidianas, más particularmente la geometría hipérbólica justificándose con el problema original que la motivó, la independencia del axioma V de Euclides del resto de los axiomas.

Es indudable que la geometría analítica, con el uso de coordenadas, ofrece un método potentísimo al poder reducir a números los objetos y sus posiciones, pero es necesario primero conocer los problemas geométricos y su motivación, y observar su dificultad antes de reducirlos a ecuaciones algebraicas. En ocasiones argumentos sintéticos resuelven problemas difíciles desde el punto de vista analítico o los facilitan enormemente. Pero la controversia entre geometría analítica o sintética se resolvió históricamente y hoy en día los matemáticos sabemos que es necesario conocer y aplicar los dos métodos.

El objetivo de este curso es que los alumnos sean capaces de razonar con objetos geométricos, primero nos quedamos con la primera parte de la frase: capaces de razonar. La Geometría ha sido utilizada para aprender a razonar o mejorar en esta habilidad durante 2000 años y creemos que puede seguir desempeñando muy bien ese papel. La razón la da la segunda parte de la frase “...con objetos geométricos”; la geometría tiene la ventaja sobre otras ciencias de tener un laboratorio muy accesible: una hoja de papel, un lápiz, una regla ... es el ejemplo más claro de lo que es el modelado de la realidad en matemáticas.

 

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Índice

Introducción .

Indicaciones para el estudio

Panorama rápido del

Contextualización

Prerrequisitos

Omisión

 

1. Espacios métricos

Introducción

Espaciosmétricos. Distancia

Un ejemplo

Segmentos y puntos alineados

Ejercicios

Actividad complementaria

 

2. Axiomas para la geometría euclidiana plana 21

Introducción

Distancia

Rectas

Axioma de separación

Triángulos

Isometrías

Axiomas sobre isometrías

Ortogonalidad

El axioma de las paralelas

Geometría dinámica. Geogebra

Ejercicios

Nota y actividades complementarias

 

3. Isometrías del plano

Introducción

Preliminares

Las isometrías del

Clasificación de las isometrías del plano

Vectores y traslaciones

Ejercicios

Actividad complementaria

 

4. Ángulos

Introducción

Ángulos

Comparación de ángulos

Suma de ángulos

Triángulos isósceles y equiláteros

Suma de los ángulos de un triángulo

Ángulo de rotación. Ángulo orientado

Ejercicios

Actividades complementarias

 

5. El teorema de Tales

Introducción

Paralelogramos

Teorema de Tales

Trigonometría

Medida de ángulos

Ejercicios

Actividades complementarias

 

6. El teorema de Pitágoras

Introducción

El teorema de Pitágoras

Dos ángulos con la misma medida son congruentes

Fórmulas trigonométricas y sus consecuencias

Introducción a la geometría analítica del plano

Ejercicios

Actividades complementarias

 

7. Semejanzas

Introducción

Homotecias y semejanzas

Semejanzas y triángulos

Centros de un triángulo

Ejercicios

Actividades complementarias

 

8. Circunferencias

Introducción

Circunferencias

Ángulos y circunferencias

Inversión con respecto a una circunferencia

Razón doble

Ejercicios

Actividades complementarias

 

9. Introducción a la geometría hiperbólica

Introducción

Geometría hiperbólica

Ejercicios

Actividad complementaria

 

10.Polígonos. Construcciones con regla y compás

Introducción

Polígonos

Polígonos convexos

Polígonos regulares

Simetrías de los polígonos regulares

Construcción de polígonos regulares con regla y compás

Ejercicios

Actividades complementarias

 

11.Axiomas para la geometría euclidiana espacial

Introducción

Espacio y planos

Ortogonalidad

Paralelismo entre planos

Coordenadas cartesianas en el espacio

Ejercicios

 

12.Isometrías del espacio

Introducción

Preliminares

Reflexión respecto a un plano

Descripción y clasificación

Ejercicios

 

13.Poliedros

Introducción

Poliedros

Poliedros convexos

Ciclos poligonales

El teorema de Euler

Poliedros regulares

Simetrías de los poliedros regulares

Ejercicios

Actividades complementarias

 

14.Soluciones de los ejercicios 253

Soluciones: ejercicios del capítulo 1

Soluciones: ejercicios del capítulo 2

Soluciones: ejercicios del capítulo 3

Soluciones: ejercicios del capítulo 4

Soluciones: ejercicios del capítulo 5

Soluciones: ejercicios del capítulo 6

Soluciones: ejercicios del capítulo 7

Soluciones: ejercicios del capítulo 8

Soluciones: ejercicios del capítulo 9

Soluciones: ejercicios del capítulo 10

Soluciones: ejercicios del capítulo 11

Soluciones: ejercicios del capítulo 12

Soluciones: ejercicios del capítulo 13

 

15.Cronología, bibliografía, índice alfabético

 

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