Ecuaciones Algebráicas: Extensiones De Cuerpos y Teoría de Galois

Resumen del libro

Este libro, que es fruto de la experiencia de los autores en la impartición de cursos similares, es una iniciación al estudio de la Teoría de Galois para extensiones finitas de cuerpos de característica cero, y que incluye un capítulo sobre cuerpos finitos. Hemos decidido excluir de nuestro estudio la Teoría de Galois de extensiones no finitas y las extensiones de cuerpos de característica positiva, por lo que en ningún momento aparece la noción de separabilidad. Su contenido es continuación del de dos textos escritos por nosotros acerca de los rudimentos de la Teoría de Grupos y la Divisibilidad en anillos conmutativos, respectivamente, a los que hacemos referencia como vol. I y vol. II. Con este texto se pretende cubrir la materia de la asignatura Ecuaciones Algebraicas que se imparte en el grado en Matemáticas y en los dobles Grados en Matemáticas y Física y Matemáticas e Informática.

Los dos primeros Capítulos tienen carácter muy elemental; sirven de apoyo a todo el texto y la noción clave que en ellos se aborda es la de cuerpo de descomposición. El Capítulo III y el Apéndice C en el que, entre otras cosas, se prueba la transcendencia de e y p, son suprimibles si el limitado número de horas lectivas obliga a ello. Los Capítulos IV, V y VI constituyen el núcleo del curso, pero también aquí se puede hacer una lectura completa y otra más relajada. En particular, todo lo relativo al grupo de Galois de los polinomios de grado 5, que aparece en las páginas de la sección primera del Capítulo V que siguen a V.4.1 puede ser omitido sin que la exposición se resienta.

El Capítulo VII tiene un carácter distinto al resto del texto pues está dedicado a los cuerpos finitos. La primera sección es muy elemental, mientras que la demostración de la Ley de reciprocidad cuadrática VII.2.6 y sus preparativos pueden suprimirse si el tiempo no da para más. La prueba que presentamos en esta edición es más acorde a los conocimientos adquiridos en la primera sección del capítulo que la que aparecía en la primera edición del texto. Nos ha sido facilitada por nuestro amigo y compañero Juan Ramón Delgado a quien desde aquí mostramos nuestro más sincero agradecimiento.

A instancia de nuestros alumnos hemos incluido al comienzo de cada capítulo de esta edición una subsección que hemos llamado Guía para leer el capítulo. En ella hemos intentado destacar los resultados fundamentales y describir las herramientas auxiliares que conducen a su demostración. En un texto de más de 600 páginas nos ha parecido imprescindible guiar al lector para que sepa qué se persigue, dónde se presentan ideas relevantes y que es rutinario o accesorio.

El libro contiene numerosos ejemplos y 211 ejercicios resueltos, de dificultad variable. Algunos son auténticos ejercicios, propuestos para que su resolución permita consolidar los conocimientos adquiridos, pero otros son problemas que ponen a prueba el ingenio y la madurez matemática de quienes los aborden.

Hemos decidido incluir las soluciones, a pesar del trabajo que esto conlleva y de que no son pocos los docentes que lo consideran un desacierto. Para no darles la razón instamos a los lectores a intentar resolverlos por su cuenta y acudir a la solución que presentamos sólo tras esforzarse seriamente. Pocos de estos ejercicios son originales, aunque sí lo son las soluciones propuestas, y los hemos escogido de fuentes diversas, así como los que conforman la colección de 242 ejercicios no resueltos que hemos incluido en esta edición al final del texto. Entre ellas cabe citar las listas de problemas elaboradas por nuestra compañera y amiga, la profesora Concha Fuertes, a la que mostramos nuestro agradecimiento, que hacemos extensivo a los profesores Félix Delgado y Sebastián Xambó cuyo texto de Álgebra, escrito junto con Concha, y cuya segunda edición acaba de ver la luz, inspiró en parte el nuestro. También hemos empleado la preciosa Introducció a l’àlgebra abstracta de Ramon Antoine, Rosa Camps y Jaume Moncasi que Rosa nos regaló hace algún tiempo.

Agradecemos la ayuda de nuestro amigo y maestro, el profesor Pp Ruiz, quien nos facilitó bibliografía muy útil; en particular un artículo de Z. Jelonek del que hemos copiado la prueba de la existencia del cierre algebraico.

No habríamos podido presentar un algoritmo para calcular el grupo de Galois de los polinomios de grado 5 sin la ayuda del profesor Juan Ramón Delgado, que nos explicó la solución del problema. También nos ayudaron en esto el profesor Alfonso Zamora y quien fue nuestro alumno y ya es doctor David Martínez Rubio, quienes nos proporcionaron ejemplos de polinomios irreducibles de grado 5 con coeficientes racionales y grupo de Galois prefijado.

También merece un agradecimiento especial el profesor Enrique Arrondo, de quien aprendimos a emplear casos particulares de la Ley de reciprocidad cuadrática para demostrar que ciertas progresiones aritméticas de números enteros contienen infinitos números primos. Hemos incluido varios de estos resultados en el texto; bien en el desarrollo del Capítulo VII, bien entre los ejercicios propuestos. A este respecto debemos mencionar a Gonzalo Gómez Abejón, a quien se debe la demostración que aquí presentamos de que en las progresiones aritméticas que contienen al 1 hay infinitos primos.

En el Apéndice G presentamos un método para encontrar elementos primitivos de las subextensiones de los cuerpos ciclotómicos p-ésimos. Esto hubiera sido imposible sin la formidable colaboración de la Dra. Maria Rosaria Pati. En una de sus vistas a Madrid le propusimos el enunciado que pretendíamos demostrar y ella en pocos días nos envió una prueba muy elegante. Seguramente el resultado es conocido, pero nosotros no supimos encontrarlo.

Agradecemos las contribuciones de nuestros magníficos alumnos de la Facultad de Matemáticas de la UCM. Merecen una mención especial las aportaciones de Gabriel Abánades, Alberto Acosta, José Ignacio Alba, Izar Alonso, Sergio Angulo, Fernando Aparicio, Lucía Baena, Berardo Castiñeira, Silvia Centenera, Diego Chicharro, Pedro Corral, Lucía de Alarcón, Sergio Díaz Aranda, Abdelaziz El Kadi Lachehab, Eduardo Fernández, Hugo Fernández Hervás, Judit García Pérez, Raúl González Molina, Aitor Iríbar, Lucas de Jong, Hugo Labella, Jaime Mendizábal, María Mora Jiménez, Andrés Méndez, Martín Padrón y Cristian Vázquez.

Son también reseñables las aportaciones de Javier Alcaide, Elisa Casado, Gema Cuesta, Sergio Cuesta, Javier Fresán, Roque de Frutos, Gabriel Fürstenheim, Lucía Galguera, Victor Gallego, Víctor García Herrero, Diego García Peris, Guillermo García Sáez, Enrique García Sánchez, Judit García Pérez, Alberto García Santiuste, Claudia Peña, Miguel Hernaiz, Luis Hernández Corbato, Sara Herrero, Daniel Ibaibarriaga, Jesús Illescas, Rubén Izquierdo, Álvaro Jiménez, Elisa Lorenzo, Vicente Lorenzo, Ignacio Luján, Sergio de María Saiz, Juan Martín Fajardo, Ana María Martínez, Fco. Javier Martínez Aguinaga, Javier Martínez, Lucía Mondaray, José Luis Muñoz Casado, Pedro Nuñez, Blanca Pablos, Daniel Ortega, Alfonso Palomares, Alfonso Peña, Claudia Peña, Victor Pérez, Arturo Rodríguez Rodríguez, María Belén Rodríguez Rodríguez, Miguel Ángel Ruiz Risueño, Ángel Sanz, Diego de Sotto, Andrea Isabel Vicente y Gonzalo Vijande.

Los prerrequisitos para estudiar este texto son un curso de álgebra lineal, otro de iniciación a la teoría de grupos finitos y un tercero en el que se estudien con cierta profundidad los anillos de polinomios en una y varias variables.

José F. Fernando Galván & J. Manuel Gamboa Mutuberría.

Índice

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